A to číslo vlastně znamená co?

Zpackaná státní maturita z matematiky nejspíše jen podpoří trend ústupu od kvalitní matematiky, pozorovatelný mnoho let na všech typech škol od základních po vysoké. V ruku v ruce s tím by docházelo k prohlubování finanční negramotnosti velké části české populace.

Tento nežádoucí trend je možno doložit celosvětovým výzkumem PISA organizovaným OECD, jenž Ústav pro informace ve vzdělávání shrnul takto: „Výsledky českých žáků [v matematické části testu] se v období od roku 2003 do roku 2009 zhoršily nejvíce ze všech zemí, které se obou cyklů výzkumu zúčastnily“. Z výzkumu vyplývá, že horší výsledky se týkají všech druhů škol s výjimkou škol speciálních. V posledním testu PISA jsme v matematice již pod průměrem zemí OECD.

To je problém jak na úrovni státní, tak na úrovni jednotlivců. Matematicky negramotné země zaostávají ve výzkumu a inovacích, protože pro kvalitní výzkum jsou kvantitativní schopnosti naprosto nezbytné. Jedná se nejen o technické obory, ale také o přírodní či společenské vědy, ve kterých teoretické matematické modelování a exaktní ekonometrická analýza dat hrají čím dál větší roli. Toto zaostávání vede ke klesající konkurenceschopnosti, ochabujícímu ekonomickému růstu, a stagnujícím mzdám. Kromě toho také finanční negramotnost často negativně ovlivňuje důležitá rozhodnutí lidí včetně politiků, a tak vede k neefektivní alokaci dostupných (lidských i přírodních) zdrojů. Pro dokreslení si uveďme tři příklady – z politiky, medicíny, a ekonomie.

Zas mám méně než ostatní?!

Nedávno jeden vysoce postavený činovník odborů rozhořčeně prohlásil: "Vláda by se měla vrátit z těch svých výšin na zem. Tady nemá šedesát procent lidí ani průměrný plat." Tento výrok demonstruje neznalost rozdílu mezi průměrem a mediánem, tzn rozdílu mezi „průměrným příjmem pracovníků” (jenž byl v Česku v loňském roce přes 24 tisíc Kč) a „příjmem průměrného pracovníka“ (jenž byl necelých 20 tisíc Kč).

Pro vysvětlení rozdílu uveďme jednoduchý příklad. Předpokládejme, že v populaci je jedenáct pracovníků. Pět z nich vydělává 10 tisíc Kč, čtyři z nich vydělávají 15 tisíc Kč, a ti dva zbývající vydělávají 77 tisíc měsíčně. Průměrná mzda tedy činí 24 tisíc, ale přes 80% pracovníků jí nedosahuje. Naproti tomu medián mzdy je 15 tisíc. Ten odvodíme tak, že seřadíme mzdy pracovníků vzestupně, a pak vybereme mzdu, jež je přesně uprostřed (tady šestá v pořadí). Je to mzda hypotetického průměrného pracovníka, protože počet pracovníků, jež mají menší mzdu se přibližně rovná počtu pracovníků, jež mají mzdu větší (přibližně proto, že někteří mohou mít mzdu stejnou). Je také důležité neplést medián se statistikou modus, což je nejčastější hodnota (v našem příkladě mzda 10 tisíc).

Otázkou zůstává, proč se v českých médiích a zákonech hovoří převážně o průměrné mzdě, a ne o mnohem relevantnějším mediánu. Tato změna by odstranila zbytečnou frustraci mnohých lidí, jež se nyní na základě statistiky průměrné mzdy cítí „podprůměrně“ finančně ohodnoceni. Existuje mnoho podobných případů, kde se průměr a medián výrazně odlišují z důvodu existence menší skupiny s vysokými hodnotami, a kde to vede ke zbytečnému pocitu méněcennosti.

Jsme nemocní, řekl nám to spolehlivý přístroj

Dalším příkladem závažných negativních dopadů finanční (konkrétně statistické) negramotnosti je mnohdy nesprávná interpretace výsledků různých testů v medicíně. Například pokud přístroj na odhalení určité nemoci má udávanou „spolehlivost“ 99%, tak v případě pacientova pozitivního testu je z toho vyvozováno, že téměř s jistotou má tuto nemoc. Skutečnost je ovšem jiná, protože záleží nejenom na spolehlivosti přístroje, ale také na pravděpodobnosti výskytu nemoci v populaci. Pro příklad uvažujme nemoc, jež postihuje jednoho člověka z tisíce (tzn nepodmíněná pravděpodobnost jejího výskytu je 0,001). Pokud přístroj se spolehlivostí 99% ukáže pozitivní nález, tak pravděpodobnost, že pacient opravdu trpí danou nemocí, je podle Bayesovského pravidla pouhých 9%! Jak je to možné? Jde o to, že u méně pravděpodobných nemocí i to jedno procento nesprávné indikace přístroje (tzv „false positive“) převáží tu pravděpodobnost, že jste opravdu nemocní a přístroj to správně indikoval. Pokud by nemocí trpěl jen jeden z desetitisíce v populaci, pak je pravděpodobnost nemoci při pozitivním testu dokonce méně než jedno procento. Ale pokud by se nemoc vyskytovala například u jednoho ze sta lidí v populaci, pak už je ta pravděpodobnost mnohem vyšší, 50% (a pokud u jednoho z deseti tak je to už přes 91%).

Je nasnadě, že nesprávná diagnóza často povede k předepsání neadekvádních zdravotních procedur, a tudíž může mít obrovské negativní důsledky. A to jak na fyzické a psychické zdraví lidí, tak na výdaje za zdravotnictví a státní rozpočet. Jako příklad může sloužit nedávná studie Nordic Cochrane centra ohledně testů mamografem na rakovinu prsu (posléze replikována týmem z Univerzity v Southamptonu, jehož studie byla loni publikována v prestižním British Medical Journal). Důkladnou analýzou dat autoři kalkulují, že na jeden život zachráněný včasným testováním mamografem připadá 200 zdravých žen, jež se dozví nesprávnou pozitivní diagnózu, a u deseti z nich dokonce dojde k chybně zvolenému postupu léčby ve formě operace a/nebo chemoterapie (naše zmínka tohoto výzkumu by v žádném případě neměla být chápána jako negativní hodnocení testů mamografem nebo jejich nedoporučení - ženy by měly konzultovat své rozhodnutí s odborníky v této oblasti).

Dalším příkladem matematické negramotnosti a s ní spojenými negativními následky je neznalost procent, například nerozlišování rozdílu mezi procenty a procentními body. Je obecně známo, že tato negramotnost přispěla v USA v období před nedávnou finanční krizí k uzavření mnoha hypotéčních smluv s líbivě ale klamavě nastavenými úvěrovými podmínkami. Když platíte hypotéční úrok 4%, tak je velký rozdíl, jestli se vám úrok při uplynutí fixace zvýší o jeden procentní bod, tzn na 5%, nebo o jedno procento, tzn na 4,04%. Mnoho lidí si neuvědomuje, že v prvním případě se úroková část jejich splátky zvýší o minimálně 25% - většinou o dost více, v závislosti na dalších parametrech nastavení jejich hypotéky. Podobná nepříjemná překvapení čekají mnoho lidí, jež si půjčí peníze v zástavárně. Tam se často udává úrok za měsíc, nikoliv standardně za rok, a rozdíly v celkově zaplacených úrocích jsou značné. Například pokud si půjčíte 10000 na jeden rok, tak při ročním úroku 5% zaplatíte na úrocích 500 Kč, kdežto při stejném měsíčním úroku to je 6000 Kč. 

Je však třeba říct, že i přes nežádoucí trendy posledních let situace rozhodně není ztracená. Matematické dovednosti byly tradičně jednou z předností českého národa, a na tuto tradici bychom mohli vhodnými kroky navázat. Otevřené přiznání faktu, že zaostáváme v této oblasti, a rozpoutání veřejné diskuze o příčinách tohoto trendu a vhodných řešeních, by mohly být slibným začátkem.